(no subject)

[m_elle]

господи, как же они надоели со своей козой:) Со старшей школы еще, что характерно. То ли бОльшая часть из тех, кто спорит, не училась в мат.школах, то ли злой препод по решению олимпиадных задач не дал им тогда доспорить до победного конца. А вы мне лучше объясните другую задачу, проскочившую там в комментариях для примера, а то я что-то уперлась рогом и затупила; в первом случае некто говорит: "одного из моих двух детей зовут Адам". Какая вероятность, что его второй ребенок - тоже мальчик?,
- и во втором - "старшего из моих двух детей зовут Адам". Какая вероятность, что его второй ребенок - тоже мальчик?
В чем тут разница между первым и вторым случаем? Не на близнецов же они намекают, а иначе какая разница в условии этих двух задач?

Comments

[kot.livejournal.com]

Я учился в мат классе, но про коз нам не рассказывали. Если б не жж так и помер бы неграмотным.

Другую задачу я пропустил. Можно ссылки на дискуссии?
Посмею предположить что вероятности а) 33%, б) 50%.

[m-elle.livejournal.com]

это у Аввы в последнем посте про задачу с козой, в комментариях

[skor.livejournal.com]

"одного из моих двух детей зовут Адам" can refer to the situation where the younger child is a boy (Adam) and the older child is a girl.

"старшего из моих двух детей зовут Адам" - can't refer to the above-mentioned situation.

[m-elle.livejournal.com]

эээ...ну и что?

[skor.livejournal.com]

Probability of A given B depends (generally) on event B: Pr[A|B]=Pr[A&B]/Pr[B]. Hence, if A&B stays the same with changing B, P[A|B] still depends on B. That's the tricky part about conditioning.

In this case let
A = both kids are boys (BB)
B1 = one of the kids is a boy (BB, BG, GB)
B2 = the older kid is a boy (BG, BB)

We have A&B1 = A&B2 = A = both kids are boys and hence Pr[A&B1]=Pr[A&B2]=Pr[A]=1/4. But because 3/4=Pr[B1] != Pr[B2]=1/2 (as my first comment noted), 1/3=Pr[A|B1] != Pr[A|B2]=1/2.

In B2 case, you have less total posibilities out of which to choose from (BB&BG) as compared with B1 case (BB&BG&GB).

Maybe thinking about two boundary (1st and last below) cases can help you get a feeling on how B inters P[A|B] when A&B stays the same:

Pr[2 boys | 2 boys] = 1

Pr[2 boys | the older one is a boy] = 1/2
Pr[2 boys | at least 1 boy] = 1/3

Pr[2 boys | no information] = 1/4.

[m-elle.livejournal.com]

B1 = one of the kids is a boy (BB, BG, GB)
какая разница в вариантах BG и GB? В смысле, что вообще дает нам знание, кто из них старше? Как-то неинтуитивно это. То есть, я понимаю, что если расписать все возможные случаи по старшенству (BB, BG, GB, GG) то действительно получается 1/3, но почему вообще может придти в голову их расписывать? Вот если бы была только первая задача, без второй, скажем?

[skor.livejournal.com]

Conditional probability is tricky and not intuitive. Plus language is not always 100% precise - that's why it's important to write things out.

I think here is a source of error in "intuitive" thinking for B1 case. This is probably how people compute in their heads:

Pr[2 boys | at least 1 boy] = Pr[2 boys | (older kid is a boy)+(younger kid is a boy)] = Pr(2 boys | older kid is a boy) (where + is OR)

where the second equality is due to symmetry of younger-older and boy-girl. However the problem is that (the younger kid is a boy) & (the older kid is a boy) is NOT empty and hence the second equality doesn't hold! For non-intersecting C and D with Pr[A|C]=Pr[A|D], it is true that Pr[A|C+D] = Pr[A|C], but it is false for intersecting C&D as the B1 example shows.

[ninazino.livejournal.com]

Ну как же, разница очевидна: в первом случае, неизвестно, которого, старшего или младшего, зовут Адам. А во втором -- известно, что Адамом зовут старшего.

[vityokr.livejournal.com]

this seems to have nothing to do with math, just wordplay.

[ninazino.livejournal.com]

But it does.

[vityokr.livejournal.com]

can you explain it please? I don't get it.

[ninazino.livejournal.com]

Ну попробую. С биноминальным распределением знакомы? Давайте рассмотрим гендерные варианты детей в семье:
ДМ
ДД
МД
ММ

Вариантов, при котором как минимум один мальчик в семье -- 3:
ДМ ММ МД, поэтому вероятность ММ, то есть, что второй ребенок мальчик = 1/3

Вариантов, при котором старший ребенок -- мальчик, два:
ММ и МД, поэтому вероятность того, что второй ребенок мальчик = 1/2

Я плохо умею объяснять, но надеюсь, как-то получилось :))

[vityokr.livejournal.com]

ahh ok, that makes sense, thank you

[ninazino.livejournal.com]

Это самый простой случай, при условии, что детей в семье только двое детей. Можно рассчитать вероятности для N детей в семье, но всегда условия "есть один мальчик" и "есть один мальчик, и он -- старший" дадут разные вероятности.

[signamax.livejournal.com]

почему то в задачниках по генетике четко определено что пол каждого ребенка - это НЕЗАВИСИМЫЙ вероятностный случай
поэтому для первого ребенка 50
для второго 50
ну и так далее

есть случаи не независимые или где не 50%
но это не тот случай

[ninazino.livejournal.com]

Ну и в чем противоречие? Я и рассматриваю 4 варианта, где на первом месте может быть и девочка, и мальчик, и на втором то же самое. В общем случае, вероятность в семье иметь двух мальчиков равна 0.25 (1/4) ну или, если угодо 0.5 х 0.5.

Теперь известно, что в семье один мальчик уже есть. Это сокращает варианты и поднимает вероятность того, что и второй ребенок -- мальчик, до 1/3.

Теперь известно, что мальчик в семье -- первый, и это еще сокращает варианты. То есть событие М уже произошло с вероятностью 1. Поэтому вероятность того, что второй ребенок -- тоже мальчик, соответствует собственнной вероятности рождения мальчика, то есть 0.5.

[signamax.livejournal.com]

противоречия нет
вы просто рассматриваете рождение ребенка как событие связанно с другими
а это событие НЕЗАВИСИМОЕ
то есть рождение одного ребенка не влияет на рождение других детей

[ninazino.livejournal.com]

Да Вы что? Где я говорю, что влияет? Я просто рассматриваю возможные исходы 2 последовательных рождений. При независимости каждого события, таких исходов ровно 4. Погуглите биноминальное распределение.

[signamax.livejournal.com]

"...известно, что в семье один мальчик уже есть. Это сокращает варианты и поднимает вероятность того, что и второй ребенок -- мальчик, до 1/3."

в этой фразе

[ninazino.livejournal.com]

Да, слово "уже" относится к случаю со старшим мальчиком. Эту фразу следует читать: известно, что один из детей мальчик.

[signamax.livejournal.com]

см ниже

вы говорите что понимаете что условие задачи
какова вероятность рождения в семье (папа/мама/сын) еще одного мальчика?

а отвечаете на задачу:
какова вероятность рождения в семье (папа/мама) двух мальчиков?

[signamax.livejournal.com]

ну что бы совсем пояснить себя
первое условие - относится к скажем индивидуальной генетике

а второе - к популяционной

[signamax.livejournal.com]

мне кажется я понял загвоздку

условие задачи читаеься людьми по разному
одни отвечают на вопрос - какова вероятность рождения в семье (папа/мама/сын) еще одного мальчика

другие - какова вероятность рождения в семье (папа/мама) двух мальчиков

[m-elle.livejournal.com]

(уж не говоря о том, что в семье могут быть еще и другие дети, просто этот некто пришел, допустим, в гости, всего с двумя из имеющихся)

[signamax.livejournal.com]

то как в ералаше
- двойняшки?
- нет, близнецы
- ну я и говорю - двойняшки
- нет близнецы
- ну двойняшки же
- нет мы близнецы
.........
.....
- тройняшки мы, я писать ходил

[donm.livejournal.com]

то есть, если я знаю, что в семье из двух детей есть мальчик, то я могу спорить, что второй девочка, и буду выигрывать в соотношении 2:1. интересный способ зарабатывать деньги ....

[m-elle.livejournal.com]

я не понимаю, что нам дает этот пункт про старшенство. Ведь получившийся пол обоих детей - независимое друг от друга событие, кто бы там ни был старший?

[merla.livejournal.com]

Полуоффтоп: А где гарантия, что Адамом назвали именно мальчика? Родители иногда такие затейники в выборе имен для детей.

50% в обоих случаях как мне кажется. Либо мальчик, либо девочка, а пол второго ребенка не влияет на результат. Вот если бы спросили, какова вероятность, что оба ребенка мальчики, то это влияло бы. Наверно. Плохо у меня с теорией вероятности было. :(

[averros.livejournal.com]

Правильный ответ 1/3 и 1/2 - просто эти фразы несут разное количество информации. Всего возможно четыре варианта, с равной вероятностью: ММ, МД, ДМ и ДД (первая буква - старший ребёнок, вторая - младший).

Первая фраза ("одного зовут ...") исключает только вариант ДД, и оставляет 3 равновероятных варианта.

Вторая фраза ("старшего зовут...") исключает варианты ДМ и ДД, оставляя только два равновероятных варианта.

Интуиция в теории вероятностей довольно часто не работает - нужно считать:)

[oxfv.livejournal.com]

Если вдуматься, то статистика близнецов никак не влияет на ответ. Все равно в одном случае 1/3, а в другом 1/2.

[m-elle.livejournal.com]

дык почему, это же независимые события, так?

[shtangen]

Во первом варианте задачи возраст не имеет значения, а во втором то что один ребенок старше уже есть в условии, т.ч. варианты близнецов просто не рассматриваем. Вот если бы в первом варианте спашивали "Какова вероятность того что второй ребеном мальчик и он старше Адама?", тогда действительно надо было бы рассмотреть еще и варианты близнецов.

[oxfv.livejournal.com]

Забудь про независимые или зависимые события. В обоих задачах независимые. Дело тут в поле возможных вариантов, из которого вероятность-то и считается. Первая формулировка ("у меня есть сын Адам") отсекает один вариант из четырех (две девочки), а вторая ("у меня есть сын Адам, и он старший") - два варианта из четырех (старшая девочка). Так понятнее?

[oxfv.livejournal.com]

А, забыл про близнецов ответить. Возможных раскладов на самом деле не 4, а 8:

1. Д Д
2. Д М
3. М Д
4. М М
5. Д Д близнецы
6. Д М близнецы
7. М Д близнецы
8. М М близнецы

В первой формулировке из 8 вариантов остается 6 (1 и 5 уходят), и "благоприятных" из них - 2 (4 и 8). Поскольку вероятность первых четырех мы считаем что одинакова, и вероятность вторых четырех тоже (хоть и отличается от первых четырех), то вероятность варианта ММ все равно 1/3.

Во второй формулировке варианты 5-8 вообще отпадают: там нет старшего ребенка. Поэтому она сводится к той же задаче для близнецов: из вариантов 2 и 4 нам подходит только 4, и его вероятность, значит, 1/2.

[countrclockwise.livejournal.com]

Зависимые.
Вероятность того, что корабль потерпит крушение - 1/10. Корабль потерпел крушение, и пассажира спасли. И этот корабль таки тоже потонул, ви представляете? Его опять спасли, и он думает - ну уж теперь-то все шансы на моей стороне!
А вот хуюшки. Вероятность УЖЕ ПРОИЗОШЕДШЕГО события 100%. Оно же таки произошло. Говорить о вероятности того, произойдет оно или нет смысла нет. Ему уже все 100% досталось. Так что этот поц имеет те же шансы потонуть с третьим кораблем, как БЫЛО и с первым, 1/10. Что логично даже интуитивно - остальные пассажиры на этот корабль только залезли, у них же шанс 1/10, верно? А если они тонуть будут, то ему что, поблажка выйдет?

[arhi-ebi-scop.livejournal.com]

Для людей уже знакомых с козой за ширмой, наиболее интуитивное объяснение про мальчиков, и что оно не 50 % процентов - это поставить двоих детей за ширмы.
В варианте "один из": Ведущий знает где мальчик и всегда открывает только его, а варианта "две девочки" за ширмой быть не может.
Во втором варианте "старший мальчик": ведущий не играет никакой роли. одна ширма открыта, вторая независима.